用数学解决问题能力的培养是义务教育阶段数学课程的重要目标之一。因此,解决问题的教学在数学教学中有着重要的作用。它既是发展学生思维的过程,又是培养学生应用意识,创新意识的重用途径。人教版义务课程标准实验教科书根据标准的要求,在不同的学段、不同的年级分别编排了解决问题的学习内容。根据新课程标准的要求,如何进行解决问题的教学呢?笔者认为要特别重视如下几个方面。
一、重视培养学生感知、整合数学信息的能力
新教材(人教版)“解决问题”内容的编排贯穿于数学课程的各部分内容中。有的是以一个单元的编排形式呈现,有的贯穿于“计算教学”内容中。呈现的形式也是多样化,有表格、图画、情景对话、图文结合等多种方式。例题的编排都呈现了一个含有数学问题的现实情景,有的给出了其中一个条件和问题,另一个条件则需要在情景中去寻找。有的给出的是已经数学符号化了数学材料,有的情境图中还蕴涵有解决问题的多种信息。学生往往不能够很好理解这些数学信息并发现数学问题,因此,培养学生感知信息、发现数学问题的能力是解决问题教学的前提。笔者认为,教师在平时的教学中要注意以下几点:
1.对教材中解决问题的情境图进行指导。例如,二年级下册第4页解决问题例3,是解决“两步计算”相联系的实际问题,也是第一次出现用加减混合运算来解决问题的教学。教材呈现的是小朋友们看木偶戏的情景图(如下图),图中隐藏了大量的数学信息。在教学时教师可以引导学生观察情景图,并让学生说说“图中小朋友在干什么?”“从图中你发现了什么数学信息,让学生充分感知情境图中的数学信息,然后再让学生思考“图中要我们解决什么数学问题?”从引导学生整合信息过渡到发现数学问题。教师在上课时,要善于引导学生挖掘教材情境图中不同的呈现形式,引导学生观察、收集信息,并用自己的语言表述出来。
2.在平时的练习中培养学生感知、整合信息的能力。在教学时,教师除了在课堂上对情景图进行相应指导,在课后解决问题练习中,还要加强学生感知、整合信息能力的训练。如在设计练习时不要以纯文字的呈现形式出现,可以设计一些图文结合的形式,或情景对话的形式,隐藏信息;或者只给出信息让学生提出问题等形式来培养学生观察捕捉信息的能力。
二、重视分析数量关系,建立数学模型
小学《数学课程标准》中指出,“应使学生经历从实际问题抽象出数量关系并运用所学知识解决问题的过程”。笔者认为在解决问题的教学过程中,教师要注意加强学生对数量关系的分析,让学生从分析数量关系的角度来建立数学模型。
[案例]一年级下册“求一个数比另一个数多几”(如下图所示)。
师:请同学们观察这幅图,说说你知道什么?
生:我知道小雪得了12朵花,小磊得了8朵花,小华得了9朵花。(课件出示小雪和小磊的得花情况)
师:你能提出什么数学问题?
生1:小雪和小磊一共得了多少朵花?
生2:小雪比小磊多几朵?
师:生1的问题谁能解答?
生:12+8=20(朵)
师:说说你的想法。
生:把小雪得的花和小磊得的花合起来就是他们一共得的。
师:你说得很好。能解答生2提出的问题吗?请大家先用圆片代替红花摆一摆,再列式解答。
(学生动手操作)
师:说说你是怎样算的?
生:12-8=4
师:这位同学的算法对吗?
生:对。
师:请你在黑板上摆一摆,并说一说算式中的12,8和4各表示什么?
生(指着摆的)12表示小雪得花的朵数,8表示小磊得花的朵数,4表示小雪比小磊多的朵数。
师:你能结合操作说算式中各数的意义,真了不起!谁能说说为什么用减法算?
生:小雪的是12朵,小磊的是8朵,用小雪的减去小磊的就是小雪比小磊多的。
……
在这个教学过程中,教师不仅注重引导学生在具体操作中来理解算式中每个数的意义,而且紧紧抓住“为什么用减法算”这个重要问题。学生在思考这个问题的过程中,自然会想到“小雪的朵数-小磊的朵数=小雪比小磊多的朵数”。其实这个过程就是分析数量关系的过程,在这个分析的过程中结合具体的操作感知学生脑中就已经主动构建了“大数-小数=相差数”的数学模型。虽然这个模型没有抽象出来,但是学生在分析和操作的过程中已经形成了表象。需要强调的是,教师在教学时要引导学生从题目自身的情境出发去构建,而不是概括抽象的数量关系式。
许多数量关系既是数学化,也是生活化的。例如,我们买东西付钱时就知道用“单价乘数量就是总价”,而要求所走的路程必须知道所行的时间和速度等。这类数量关系在生活中学生经常接触,比较熟悉。可以让学生在充分体验的基础上进行抽象概括,在解决问题中直接运用。有的数学模型可以借助学生已有的数学知识来构建。例如,二年级下册第29页解决问题的例3,是解决“平均分”相联系的简单实际问题。虽然是第一次出现用除法解决,但学生已有了除法的初步认识这一知识经验,因此很容易确立“要求每组几人”和“可以分成几组”这样的问题是用“除法”来计算。
三、重视分析方法的指导,掌握解题策略
教育心理学家认为问题解决的过程是:感觉到问题的存在,明确问题的各个方面,形成各种各样的解决方法。而学生在选择解决方法时必须要具备一定的解决策略,因此教师要引导学生学会科学合理的分析方法,掌握一些解题策略。
在课程改革中,教师常常会困惑:传统应用题的分析方法在解决问题的教学中还能用吗?笔者认为,课程改革不是对传统教学方法的遗弃,而应继承传统教学中的精粹。甚至传统的分析法在解决问题教学中还应加以重视,只是要处理好怎样用的问题。例如,用画线段的方法来指导学生解题在二年级下册关于“倍”的认识时就出现了(如右图所示)。
在教学时,教师可以让学生先在桌子上摆一摆圆片,用这种直观的方法模拟出线段图的模型,然后再抽象出线段图。只是在教学时,教师不要把大量时间花在怎样画线段图上,而应把重点放在引导学生如何根据所画线段图分析数量关系,寻找解题方法上。
除了采用画线段图的方法,其它的一些传统方法也可以用来指导解决问题。例如,在苏教版四年级上册的解决问题中就提到了列表法解决问题。笔者认为这种分析方法简单明了,便于学生观察比较。在教学人教版四年级下册第4页例2解决问题中也可以使用:
例题:“冰天雪地”3天接待987人。照这样计算,6天预计接待多少人?在教学时,教师可以帮助学生列一表格,使题中的数量关系更加清晰。
通过表格学生可清楚地看出:6天是3天的2倍,那么6天接待的人数就是3天接待人数的2倍,用6除以3再乘987就可以求出。在教学时,教师刚开始指导学生列出表格,到后来就可以慢慢放手让学生自己动手列表格。
当然教师还可以采用其它的科学合理的分析方法指导学生解决问题,枚举法、还原法、假设策略、转化策略、分析法和综合法等。笔者认为,让学生学会方法比让学生解答几个题目更重要。
四、重视解题方法多样化,提高思维水平
由于每个学生都有各自不同的知识体验和生活积累,在解决问题的过程中每个人都有自己对问题的理解,并在此基础上形成自己解决问题的策略。解决问题策略多样化的体验是启发学生思维的灵活性和广阔性,发展思维能力,培育创新精神的有效途径。因此,教师在教学中要给充足的时间和空间让学生独立思考,鼓励学生从不同的角度、不同的途径来解决问题。例如,人教版四年级下册植树问题中“关于封闭图形的植树问题”的例3“围棋盘的最外层每边能放19个棋子。最外层一共可以摆放多少个棋子?”教师在引导学生交流和讨论的基础上让学生汇报各自不同的想法时,学生可能会出现不同的解决问题的方法:①直接点数出来;②按上下各19个,左右各17个的方法来算即:19×2+17×2=72;③按每边18个来算即:18×4=72;④先按每边19个算再减去棋盘脚上的4个棋子即:19×4-4=72:⑤用整个棋盘摆放的棋子总数减去最外层后可以摆放棋子的总数就得到最外层摆放的棋子数即:19×19-17×17=72。对于学生的不同方法,教师都应给予表扬和鼓励,保护学生独立解决问题的积极性。同时也要引导学生通过比较各种算法,学习和吸收更好的解决问题的方法,思路和策略,逐步提高学生的思维水平。
五、重视联系生活实际,培养应用意识
运用数学知识解决生活中的问题,培养学生的应用意识,这是解决问题教学的一个重要目标。在教学中,教师一方面要注意创设生活情境,吸引学生的兴趣,调动学生的生活体验;另一方面要用数学知识解决生活中的问题,沟通数学与生活的联系,体会数学在生活中的应用价值,增强学生应用数学的意识,不断提高学生解决问题的能力。如在学习完“植树问题”进行练习时,教师可以设计与植树问题相关的生活中常见的实际问题,如锯木头的问题、敲钟的用时问题、设立车站的问题等。这些问题与生活紧密相联,让学生感觉生活中处处有数学。
解决问题的教学是课程改革中面临的新问题,在教学实践中我们要贯彻好新课程标准的要求,同时要结合学生的认知规律和实际情况进行教学,这样才能收到实效。
小学数学教育为什么要用列表法解决问题
对儿童的学习而言，解决问题的意义不应仅仅停留在能够解决某一类问题，获得某一类问题的结论和答案上，而应基于解题的经历和形成的相应经验、技巧、方法，从而把握一定的解决问题的策略。《数学课程标准（实验稿）》在解决问题方面更是明确提出了一个课程目标——“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。”
现在的人教版教材在编写“解决问题”这部分内容时，以现实生活中的实际问题为背景，题材选择更加开放，信息资源更加丰富，表达形式更加生动活泼。为我们广大一线教师的教学探索提供了更为广阔的空间，同时也提出了更高的要求。那么，如何有效地利用教材提供的丰富的信息资源，将生动活泼的现实情境展现给学生，如何帮助学生从解决问题的实践中提升解决问题的策略？使学生在发现问题、提出问题和解决问题的过程中能力得到培养、数学素养得到提高呢？经过多年的教学实践和学习相关的教育理论，笔者认为可以从以下几方面入手：
一、引导学生收集、处理信息
教材中利用学生身边丰富的解决问题的资源，提供了比较真实的需要解决的实际问题，教学时，老师应充分利用这些信息资源，选择恰当的方式展示这些问题情境，引导学生从情境中观察、发现、收集数学信息，并对所有信息进行筛选、提取，同时培养学生认真观察、从数学角度思考问题的习惯，提高收集信息、处理信息的能力。例如在上三年级下册求“平均数”时我是这样处理的：将书中的主题图与学生的实际结合起来，课前组织学生开展收集矿泉水瓶的活动，并将本组收集的数据以简洁的方式记录下来。上课时以统计图的形式出示某组同学收集的数据，引导学生观察：从统计图中你能发现什么信息？这样让每个学生自己发现、收集数学信息，他们热情高涨，上起课来也积极。
二、引导学生学会提出、筛选问题
当需要对信息进行整理和筛选的问题放在每个学生面前时，老师应引导学生对发现的信息进行分析，从中筛选有用的信息。引导学生注意倾听他人发现的信息，并随时进行评价。通过大家的交流和评价，学生自己就能筛选出有用的信息。然后再引导学生根据信息提出有价值的数学问题。由于新的数学问题学生第一次接触，有的学生可能提出原来学习过的数学问题，教师不要轻易给予否定，可以让学生马上解决，对提出的正确问题，以板书的形式出现，以突出重点，最后选择例题进行研究。例如三年级下的“求平均数”，教师先请学生说说从情境图中提出数学问题（谁收集的最多？谁收集的最少？他们一共收集多少个？平均每人收集了多少个？等等）再让学生分析讨论哪个问题提得最好，最终确定“平均每人收集了多少个？”为要研究的问题。这样做提高了学生的分析能力。
三、引导学生分析数量关系、寻求解决问题策略
第一、尝试解决、主动探索。在这个过程中，允许学生交流意见，以达到全体参与的目的。注意调动学生的学习经验和生活经验，采用独立尝试、动手操作、画线段图、小组讨论等方式，让学生主动探索解决问题的方法。在教学过程中，让学生已掌握的知识技能对解决新问题产生积极的影响，体现学生学习的自主性。
第二、交流算法，优化解决方法。请学生展示自己解决问题的方法和结果，在学生完成后，适时组织交流。特别注意请学生说一说解决问题的过程。通过讨论交流，让学生清楚地了解每种方法中先解决了什么问题，并引导学生比较不同的方法，了解各种方法的特点，为学生选择简捷的解决问题的方法打下基础。这样加深了学生对解决问题过程和方法的理解，而且也让学生体验到了成功的喜悦，这样他们就乐于学习数学，提高了他们学习数学的兴趣。
第三、确定算法，解决问题。让学生独立思考，自己确定解决问题的步骤方法，切实经历解决问题的过程，进而列式算出结果。
第四、自我评价，检验成果。让学生从不同角度，对自己的全部思维成果进行检验，让检验过程真正成为学生系统反思和自我评价的过程。例如三年级下的“求平均数”，可以先让学生以小组为单位，利用学具摆一摆，交流怎样摆，初步感知什么是平均数。再引导学生想一想：如果不摆学具，能不能想办法算出平均数是多少，在学生试算的基础上组织交流不同的算法，引导学生进行交流，并筛选出最好的算法（先求总数，再除以人数）。然后请学生用这种方法实际算一算，并说一说是怎样算的，每步算式表示的是什么意思。最后请学生回顾整个解题思路，验算得数是否正确。
在这个过程中，允许学生交流意见，以达全员参与的目的；提倡并鼓励算法多样化，以培养学生的多角度思维；注意调动学生已有的学习经验和生活经验，采用独立尝试、动手操作、小组讨论等方式，让学生主动探索解决问题的方法，并在探索过程中锻炼提高能力；在教学过程中，努力使学生已掌握的知识技能对解决新问题产生积极的影响，体现学生学习的自主性。
四、引导学生梳理解题思路、形成技能
问题解决的技能要通过一定的练习来形成，根据学生反馈信息及时调整，起到巩固所学知识的作用。练习设计要切合实际，由易到难，面向全体，因材施教，加强对比，提高学生解决问题的能力，逐步形成技能。
如三年级下的“求平均数”教学后，先请学生回顾整理什么是平均数，平均数有什么用，我们是怎样求平均数的等，再让学生完成课本第44、45页的第2、5题，求平均温度和平均路程，使学生掌握一节课的基础知识。
五、引导学生实践运用、拓展训练
可利用教室等学生非常熟悉的地方，创设出一个个丰富的现实的问题情境，学生依据这些材料解决问题，求知欲强，并体会到成功的快乐。还可以培养学生应用数学的意识，能知道现实生活中蕴涵着大量的数学信息，能感受到现实世界中有广泛的应用。也可以通过改变条件或问题，把一道题改编成几道不同类型的问题，让学生弄清算理，加以辨析，从而形成知识链，提高举一反三、触类旁通的能力，使学生的思维得到进一步的发展。例如三年级下的“求平均数”，可以让学生调查本年级同学参加兴趣小组的人数，求出每班参加兴趣小组的平均人数并谈谈看到这种现象有什么想法。这样使学生不仅巩固了所学知识，同时还培养了能力，强化了思维。
经过几年的实践探索，我觉得这几个教学策略不仅能调动学生的兴趣，使学生兴趣盎然地参与整个学习过程，还能较好地帮助学生从实际生活中抽取并理解数量关系，掌握解决类似问题的一般方法，同时还培养了学生学会用数学眼光观察生活、发现和提出数学问题及能根据需要筛选和处理信息，积极寻求解决问题策略的能力，特别是这种教学策略的运用促进了学生学会观察、学会倾听、学会交流、学会反思等学习品质的养成，使学生体会到生活中处处有数学、处处离不开数学，较好地达到了提高学生数学素养的目的。
把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题的方法叫列表法。
作用：
使用列表法，可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。
方法：
在列表法时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同一类的。排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。这就是说，要使一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐。
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